空间直线的斜率怎么求(直线斜率公式推导)

我们爬山的时候,山越陡越难爬;骑车的时候,路面的坡度越大越难骑。一个面的坡度越大,倾斜得越厉害,我们就越难上去,那么,我们该如何衡量这个倾斜程度呢?

在平面里画条一条直线,我们可以直观地看出这条直线的倾斜程度,而且还不难发现:不管在直线的什么地方,它的倾斜程度都是一样的。

所以,我们就可以用一个量来描述这整条直线的倾斜程度,这个概念就被形象地命名为斜率

那么,一条直线的斜率要怎么计算呢?这个想法也很直观:建一个坐标系,看看直线在x轴改变了Δx时候,它在y轴的改变量Δy是多少。如果Δx是固定的,那么显然Δy越大,这条直线就斜得越厉害,斜率也就越大。

这就跟我们判断跑步的速度是一样的道理:给定一个固定的时间,比如10秒(相当于固定的Δx),看看你能跑多远(相当于Δy),你跑得越远(Δy越大),我就认为你跑得就越快。当然也可以反过来,给定一个固定的距离,比如100米(相当于Δy),你跑的时间越短(Δx越小),我就认为你跑得越快。

把这两种情况综合一下,我们就能发现:固定时间(Δx)也好,固定距离(Δy)也好,最终起决定作用的是Δy和Δx的比值Δy/Δx。这个比值越大,你就跑得越快,对应的直线也就越陡。

所以,我们就可以在直线上随意找两个点,用它们纵坐标之差Δy和横坐标之差Δx的比值(Δy/Δx)来定义这条直线斜率。

学过三角函数的同学也会知道,这个斜率刚好就是这条直线和x轴夹角θ的正切值tanθ,即:tanθ=Δy/Δx。这就是说,直线和x轴的夹角θ越大,它的斜率就越大,就倾斜的越厉害,这跟经验都是一致的。

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